PEMROGRAMAN LINIER
(Sumber : Siringoringo, 2005)
Pemrograman Linier disingkat PL merupakan
metode matematik dalam mengalokasikan
sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan
keuntungan dan meminimumkan biaya. PL banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, social dan
lain-lain. PL berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai
suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan
beberapa kendala linier.
Karakteristik Pemrograman Linier
Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan
dengan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, kita dapat memeriksa
kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar) ataupun menggunakan uji
hipotesa. Secara teknis, linearitas ditunjukkan oleh adanya sifat
proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian fungsi tujuan dan pembatas.
Sifat proporsional dipenuhi jika kontribusi
setiap variabel pada fungsi tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi
proporsional terhadap level nilai variabel. Jika harga per unit produk misalnya
adalah sama berapapun jumlah yang dibeli, maka sifat proporsional dipenuhi.
Atau dengan kata lain, jika pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon,
maka sifat proporsional tidak dipenuhi. Jika penggunaan sumber daya per unitnya
tergantung dari jumlah yang diproduksi, maka sifat proporsionalitas tidak
dipenuhi.
Sifat additivitas mengasumsikan bahwa tidak
ada bentuk perkalian silang diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak akan
ditemukan bentuk perkalian silang pada model. Sifat additivitas berlaku baik
bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala). Sifat additivitas dipenuhi jika
fungsi tujuan merupakan penambahan langsung kontribusi masing-masing variabel
keputusan. Untuk fungsi kendala, sifat additivitas dipenuhi jika nilai kanan
merupakan total penggunaaan masing-masing variabel keputusan. Jika dua variabel
keputusan misalnya merepresentasikan dua produk substitusi, dimana peningkatan
volume penjualan salah satu produk akan mengurangi volume penjualan produk
lainnya dalam pasar yang sama, maka sifat additivitas tidak terpenuhi.
Sifat divisibilitas berarti unit aktivitas
dapat dibagi ke dalam sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel
keputusan non integer dimungkinkan.
Sifat kepastian menunjukkan bahwa semua
parameter model berupa konstanta. Artinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi
pembatas merupakan suatu nilai pasti, bukan merupakan nilai dengan peluang
tertentu.
Keempat asumsi
(sifat) ini dalam dunia nyata tidak selalu dapat dipenuhi. Untuk meyakinkan
dipenuhinya keempat asumsi ini, dalam pemrograman linier diperlukan analisis
sensitivitas terhadap solusi optimal yang diperoleh.
Formulasi Permasalahan
Urutan pertama
dalam penyelesaian adalah mempelajari sistem relevan dan mengembangkan
pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas. Penggambaran sistem
dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber daya yang membatasi,
alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu
pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian
lain dalam perusahaan, dan lain-lain.
Penetapan tujuan
yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi masalah. Untuk
membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen yang
benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran
mereka tentang tujuan yang ingin dicapai.
Pembentukan model matematik
Tahap berikutnya
yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan optimasi adalah membuat
model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan konvensional riset operasional
untuk pemodelan adalah membangun model matematik yang menggambarkan inti
permasalahan. Kasus dari bentuk cerita diterjemahkan ke model matematik. Model
matematik merupakan representasi kuantitatif tujuan dan sumber daya yang
membatasi sebagai fungsi variabel keputusan. Model matematika permasalahan optimal terdiri dari
dua bagian. Bagian pertama memodelkan tujuan optimasi. Model matematik tujuan
selalu menggunakan bentuk persamaan. Bentuk persamaan digunakan karena kita
ingin mendapatkan solusi optimum pada satu titik. Fungsi tujuan yang akan
dioptimalkan hanya satu. Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya
dihadapkan pada satu tujuan. Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu.
Tetapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik dengan permasalahan optimal
dengan satu tujuan.
Bagian kedua
merupakan model matematik yang merepresentasikan sumber daya yang membatasi.
Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan (≤ atau ≥).
Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik sebagai
koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan
dikatakan sebagai parameter model. Model matematika mempunyai beberapa
keuntungan dibandingakan pendeskripsian permasalahan secara verbal. Salah satu
keuntungan yang paling jelas adala model matematik menggambarkan permasalahan
secara lebih ringkas. Hal ini cenderung membuat struktur keseluruhan
permasalahan lebih mudah dipahami, dan membantu mengungkapkan relasi sebab
akibat penting. Model matematik juga memfasilitasi yang berhubungan dengan
permasalahan dan keseluruhannya dan mempertimbangkan semua keterhubungannya
secara simultan. Terakhir, model matematik membentuk jembatan ke penggunaan
teknik matematik dan komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis permasalahan.
Di sisi lain,
model matematik mempunyai kelemahan. Tidak semua karakteristik sistem dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan
fungsi matematik. Meskipun dapat dimodelkan dengan fungsi matematik,
kadang-kadang penyelesaiannya sulit diperoleh karena kompleksitas fungsi dan
teknik yang dibutuhkan.
Bentuk umum
pemrograman linier adalah sebagai berikut :
Fungsi tujuan :
Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1
+ c2x2 + ... + cnxn
Sumber daya yang membatasi :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn
= /≤ / ≥ b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn
= /≤ / ≥ b2
…
am1x1 + am2x2
+ … + amnxn = /≤ / ≥ bm
x1, x2, …, xn
≥ 0
Simbol x1,
x2, ..., xn (xi)
menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan (xi) oleh
karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk
mencapai tujuan. Simbol c1,c2,...,cn
merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut
juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.Simbol a11, ...,a1n,...,amn
merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang
membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model
matematiknya. Simbol b1,b2,...,bm menunjukkan
jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan
tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.
Pertidaksamaan
terakhir (x1, x2,
…, xn ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif. Membuat model matematik
dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematik tapi juga
menuntut seni permodelan. Menggunakan seni akan membuat permodelan lebih mudah
dan menarik.
Kasus
pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap kasus, hal yang penting adalah
memahami setiap kasus dan memahami
konsep permodelannya. Meskipun fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai
kemungkinan bentuk maksimisasi atau minimisasi, keputusan untuk memilih salah
satunya bukan pekerjaan mudah. Tujuan pada suatu kasus bisa menjadi batasan
pada kasus yang lain. Harus hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi
tujuan, batasan dan koefisien pada fungsi pembatas.
Contoh Kasus yang diselesaikan
Pada sub bab ini
terdapat 10 kasus dengan karakteristik berbeda yang sudah diselesaikan untuk
memperkaya pembaca dalam ilmu dan seni permodelan. Pahami dan perhatikan teknik
permodelannya dengan hati-hati.
- Seorang pengrajin
menghasilkan satu tipe meja dan satu tipe kursi. Proses yang dikerjakan
hanya merakit meja dan kursi. Dibutuhkan waktu 2 jam untuk merakit 1 unit
meja dan 30 menit untuk merakit 1 unit kursi. Perakitan dilakukan oleh 4
orang karyawan dengan waktu kerja 8 jam perhari. Pelanggan pada umumnya
membeli paling banyak 4 kursi untuk 1 meja. Oleh karena itu pengrajin
harus memproduksi kursi paling banyak empat kali jumlah meja. Harga jual
per unit meja adalah Rp 1,2 juta dan per unit kursi adalah Rp 500 ribu.
Formulasikan
kasus tersebut ke dalam model matematiknya !
Solusi :
Hal pertama yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan,
alternatif keputusan dan sumber daya yang membatasi. Berdasarkan informasi yang
diberikan pada soal, tujuan yang ingin dicapai adalah memaksimumkan pendapatan. Alternatif keputusan adalah jumlah meja dan kursi yang akan
diproduksi. Sumber daya yang membatasi
adalah waktu kerja karyawan dan
perbandingan jumlah kursi dan meja yang harus diproduksi (pangsa pasar ).
Langkah berikutnya adalah memeriksa sifat proporsionalitas,
additivitas, divisibilitas dan kepastian. Informasi di atas tidak menunjukkan
adanya pemberian diskon, sehingga harga jual per meja maupun kursi akan sama meskipun
jumlah yang dibeli semakin banyak. Hal ini mengisyaratkan bahwa total pendapatan yang diperoleh pengrajin
proposional terhadap jumlah produk yang terjual. Penggunaan sumber daya yang
membatasi , dalam hal ini waktu kerja karyawan dan pangsa pasar juga
proporsional terhadap jumlah meja dan kursi yang diproduksi. Dengan demikian dapat dinyatakan sifat
proporsionalitas dipenuhi. Total pendapatan pengrajin merupakan jumlah
pendapatan dari keseluruhan meja dan kursi yang terjual. Penggunaan sumber daya
( waktu kerja karyawan dan pangsa pasar) merupakan penjumlahan waktu yang
digunakan untuk memproduksi meja dan kursi. Maka dapat dinyatakan juga sifat
additivitas dipenuhi. Sifat divisibilitas dan kepastian juga dipenuhi.
Ada dua variabel keputusan dan dua sumber daya yang membatasi. Fungsi
tujuan meru[pakan maksimisasi, karena semakin besar pendapatan akan semakin
disukai oleh pengrajin. Fungsi kendala pertama (batasan waktu) menggunakan
pertidaksamaan ≤, karena waktu yang tersedia dapat digunakan sepenuhnya atau
tidak, tapi tidak mungkin melebihi waktu yang ada. Fungsi kendala yang kedua
bisa menggunakan ≤ atau ≥ tergantung dari pendefinisianvariabelnya.
Kita
definisikan :
x1 =
jumlah meja yang akan diproduksi
x2 =
jumlah kursi yang akan diproduksi
Model umum
Pemrograman Linier kasus di atas adalah :
Fungsi tujuan :
Maksimumkan z =
1.2 x1 + 0.5 x2
Kendala :
2x1
+ 0.5 x2 ≤ 32
x1/x2
≥ ¼ atau 4x1≥ x2 atau 4x1 – x2 ≥ 0
x1 ,
x2 ≥ 0
- Seorang peternak memiliki
200 kambing yang mengkonsumsi 90 kg pakan khusus setiap harinya. Pakan
tersebut disiapkan menggunakan campuran jagung dan bungkil kedelai dengan
komposisi sebagai berikut :
|
Bahan
|
Kg per kg bahan
|
|
Kalsium
|
Protein
|
Serat
|
Biaya (Rp/kg)
|
|
Jagung
|
0.001
|
0.09
|
0.02
|
2000
|
|
Bungkil kedelai
|
0.002
|
0.60
|
0.06
|
5500
|
Kebutuhan pakan
kambing setiap harinya adalah paling banyak 1% kalsium, paling sedikit 30%
protein dan paling banyak 5% serat.
Formulasikan permasalahan di atas kedalam
model matematiknya !
Solusi :
Hal pertama yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan ,
alternative keputusan dan sumber daya yang membatasi. Berdasarkan informasi
yang diberikan pada soal, tujuan yang ingin dicapai adalah meminimumkan biaya pembelian bahan pakan. Alternative keputusan
adalah jumlah jagung dan bungkil kedelai
yang akan digunakan. Sumber daya yang membatasi adalah kandungan kalsium, protein dan serat pada jagung dan bungkil kedelai, serta
kebutuhan jumlah pakan per hari.
Langkah berikutnya adalah memeriksa sifat
proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian. Informasi di atas
tidak menunjukkan adanya pemberian diskon, sehingga harga pembelian jagung dan
bungkil kedelai per kg tidak berbeda meskipun pembelian dalam jumlah besar. Hal
ini mengisyaratkan bahwa total biaya yang harus dikeluarkan peternak
proporsional terhadap jumlah jagung
dan bungkil kedelai yang dibeli.
Penggunaan sumber daya yang membatasi, dalam hal ini komposisi jagung dan
bungkil kedelai akan serat, protein dan kalsium proporsional terhadap jumlah
jagung dan bungkil. Dengan demikian
dapat dinyatakan sifat
proporsionalitas dipenuhi. Total
pengeluaran pembelian bahan pakan
merupakan penjumlahan pengeluaran
untuk jagung dan bungkil kedelai. Jumlah
masing-masing serat, protein dan kalsium yang ada di pakan khusus merupakan penjumlah serat, protein dan
kalsium yang ada pada jagung dan bungkil kedelai. Jumlah pakan khusus yang
dihasilkan merupakan penjumlahan jagung dan bungkil kedelai yang digunakan. Dengan demikian sifat additivitas dipenuhi.
Sifat divisibilitas dan kepastian juga dipenuhi.
Ada dua variabel keputusan dan empat sumber daya
yang membatasi. Fungsi tujuan merupakan minimisasi,
karena semakin kecil biaya akan semakin disukai oleh peternak. Fungsi kendala
pertama (batasan jumlah pakan yang dibutuhkan per hari) menggunakan persamaan
(=), fungsi kendala kedua (kebutuhan kalsium) dan kendala keempat (kebutuhan
serat) menggunakan pertidaksamaan ≤, dan fungsi kendala ketiga (kebutuhan akan
protein) menggunakan pertidaksamaan ≥.
Kita definisikan :
x1 = jumlah jagung yang akan
digunakan
x2 = jumlah bungkil kedelai yang akan
digunakan
Model umum Pemrograman linier kasus di atas oleh
karenanya adalah :
Fungsi tujuan : minimumkan z = 2000 x1
+ 5500 x2
Kendala :
x1 + x2 = 90
0.001 x1 + 0.002 x2 ≤ 0.9
0.09 x1 + 0.6 x2 ≥ 27
0.02 x1 + 0.06 x2 ≤ 4.5
x1, x2 ≥ 0
3.
Suatu
bank kecil mengalokasikan dana maksimum Rp 180 juta untuk pinjaman pribadi dan
pembelian mobil satu bulan kedepan. Bank mengenakan
biaya suku bunga per tahun 14% untuk pinjaman pribadi dan 12% untuk pinjaman
pembelian mobil. Kedua tipe
pinjaman itu dikembalikan bersama dengan bunganya satu tahun kemudian. Jumlah
pinjaman pembelian mobil paling tidak dua kali lipat dibandingkan pinjaman
pribadi. Pengalaman sebelumnya menunjukkan bahwa 1%
pinjaman pribadi merupakan kredit macet.
Formulasikan
masalah di atas kedalam bentuk model
matematiknya !
Solusi :
Hal pertama yang harus dilakukan adalah
mengidentifikasi tujuan, alternatif keputusan dan sumber daya yang membatasi.
Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, tujuan yang ingin dicapai
adalah memaksimumkan pendapatan bunga dan pengembalian pinjaman.
Alternatif keputusan adalah jumlah alokasi
pinjaman pribadi dan pinjaman mobil. Sumber daya yang membatasi adalah jumlah alokasi anggaran untuk kredit bulan
depan dan perbandingan antara jumlah kredit pribadi dan pembelian mobil.
Sifat
proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian dipenuhi.
Ada
dua variabel keputusan yaitu jumlah anggaran untuk pinjaman pribadi dan
pinjaman pembelian mobil, dan dua sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan
merupakan maksimisasi , karena semakin besar pendapatan akan semakin disukai
oleh manajemen bank.
Kita
definisikan :
x1
= jumlah anggaran untuk pinjaman pribadi
x2
= jumlah anggaran untuk pinjaman pembelian mobil.
Model
umum Pemrograman Linier kasus diatas adalah :
Fungsi
tujuan : Maksimumkan z = (0.14 – 0.01) x1 + 0.12 x2
Kendala
:
x1
+ x2 ≤ 180
x2
≥ 2x1 atau -2x1 + x2 ≥ 0
x1,
x2 ≥ 0
4.
Suatu pabrik perakitan radio
menghasilkan dua tipe radio, yaitu HiFi-1 dan HiFi-2 pada fasilitas perakitan
yang sama. Lini perakitan terdiri dari 3 stasiun kerja. Waktu perakitan
masing-masing tipe pada masing-masing stasiun kerja adalah sebagai berikut :
|
Stasiun kerja
|
Waktu perakitan per unit (menit)
|
|
HiFi-1
|
HiFi-2
|
|
1
|
6
|
4
|
|
2
|
5
|
5
|
|
3
|
4
|
6
|
Waktu
kerja masing-masing stasiun kerja adalah 8 jam per hari. Masing-masing stasiun
kerja membutuhkan perawatan harian selama 10%, 14% dan 12% dari total waktu
kerja (8 jam) secara berturut-turut untuk stasiun kerja 1,2 dan 3.
Formulasikan permasalahan ini kedalam model
matematiknya !
Solusi :
Alternatif keputusan adalah : radio tipe HiFi-1 (x1) dan radio tipe HiFi-2 (x2).
Tujuannya adalah memaksimumkan jumlah radio HiFi-1 dan HiFi-2 yang diproduksi.
Sumber daya pembatas adalah : jam kerja masing-masing stasiun kerja dikurangi dengan waktu yang
dibutuhkan untuk perawatan.
Waktu produktif masing-masing stasiun kerja oleh
karenanya adalah :
Stasiun 1 : 480 menit – 48 menit = 432 menit
Stasiun 2 : 480 menit – 67.2 menit = 412.8 menit
Stasiun 3 : 480
menit – 57.6 menit = 422.4 menit.
Model umum pemrograman linier :
Maksimumkan z = x1 + x2
Kendala :
6x1 + 4x2 ≤ 432
5x1 + 5x2 ≤ 412.8
4x1 + 6x2 ≤ 422.4
x1, x2 ≥ 0
5.
Dua
produk dihasilkan menggunakan tiga mesin. Waktu masing-masing mesin yang
digunakan untuk menghasilkan kedua produk dibatasi hanya 10 jam per hari. Waktu
produksi dan keuntungan per unit masing-masing
produk ditunjukkan table di bawah ini :
|
Produk
|
Waktu produksi (menit)
|
|
Mesin 1
|
Mesin 2
|
Mesin 3
|
Mesin 4
|
|
1
|
10
|
6
|
8
|
2
|
|
2
|
5
|
20
|
15
|
3
|
Formulasikan permasalahan di atas ke dalam model
matematiknya !
Solusi :
Alternatif
keputusan adalah : produk 1 (x1)
dan produk 2 (x2).
Tujuannya
adalah memaksimumkan keuntungan
Sumber
daya pembatas adalah : jam kerja
masing-masing mesin.
Model
umum pemrograman linier :
Maksimumkan
z = 2x1 + 3x2
Kendala
:
10
x1 + 5 x2 ≤ 600
6
x1 + 20 x2 ≤ 600
8
x1 + 15 x2 ≤ 600
x1,
x2 ≥ 0
6. Empat produk diproses secara berurutan
pada 2 mesin. Waktu pemrosesan dalam jam per unit
produk pada kedua mesin ditunjukkan table di bawah ini :
|
Mesin
|
Waktu per unit (jam)
|
|
Produk 1
|
Produk 2
|
Produk 3
|
Produk 4
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
2
|
|
2
|
3
|
2
|
1
|
2
|
Biaya total untuk memproduksi setiap unit
produk didasarkan secara langsung pada jam mesin. Asumsikan biaya operasional per jam mesin 1 dan 2
secara berturut-turut adalah $10 dan $5.
Waktu yang disediakan untuk memproduksi keempat produk pada mesin 1 adalah 500
jam dan mesin 2 adalah 380 jam. Harga jual per unit keempat produk secara
berturut-turut adalah $65, $70, $55 dan $45. Formulasikan permasalahan di atas ke dalam model
matematiknya !
Solusi :
Alternatif keputusan adalah : jumlah produk
1,2,3 dan 4 yang dihasilkan.
Tujuannya adalah memaksimumkan keuntungan.
Perhatikan, keuntungan diperoleh dengan mengurangkan biaya dari pendapatan.
Keuntungan per unit dari produk 1 = 65 –
(10x2 + 3x5) = 30
Keuntungan per unit dari produk 2 = 70 –
(10x3 + 2x5) = 30
Keuntungan per unit dari produk 3 = 55 –
(10x4 + 1x5) = 10
Keuntungan per unit dari produk 4 = 45 –
(10x2 + 2x5) = 15
Sumber daya pembatas adalah waktu kerja yang
disediakan kedua mesin.
Definisikan :
x1 :
jumlah produk 1 yang dihasilkan
x2 :
jumlah produk 2 yang dihasilkan
x3 :
jumlah produk 3 yang dihasilkan
x4 :
jumlah produk 4 yang dihasilkan
Model umum
pemrograman linier :
Maksimumkan z = 30
x1 + 30x2 + 10 x3 + 15 x4
Kendala :
2x1 + 3
x2 + 4x3 + 2x4 ≤ 500
3x1 + 2
x2 + x3 + 2x4 ≤ 380
x1,
x2, x3 , x4
≥ 0
- Suatu perusahaan manufaktur menghentikan
produksi salah satu
produk yang tidak menguntungkan. Penghentian ini menghasilkan kapasitas
produksi yang menganggur (berlebih). Kelebihan kapasitas produksi ini oleh
manajemen sedang dipertimbangkan untuk dialokasikan ke salah satu atau ke semua produk yang dihasilkan
(produk 1,2 dan 3). Kapasitas yang tersedia pada mesin yang mungkin akan
membatasi output diringkaskan pada table berikut :
|
Tipe mesin
|
Waktu yang
dibutuhkan produk pada masing-masing mesin (jam)
|
Waktu yang tersedia (jam per minggu)
|
|
Produk 1
|
Produk 2
|
Produk 3
|
|
Mesin milling
|
9
|
3
|
5
|
500
|
|
Lathe
|
5
|
4
|
0
|
350
|
|
Grinder
|
3
|
0
|
2
|
150
|
Bagian penjualan mengindikasikan bahwa
penjualan potensial untuk produk 1 dan 2 tidak akan melebihi laju produksi
maksimum dan penjualan potensial untuk produk 3 adalah 20 unit per minggu. Keuntungan per unit masing-masing produk
secara berturut-turut adalah $50, $20 dan $25.
Formulasikan permasalahan diatas kedalam model
matematik !
Solusi :
Alternatif
keputusan :
Jumlah produk 1
yang dihasilkan = x1
Jumlah produk 2
yang dihasilkan = x2
Jumlah produk 3
yang dihasilkan = x3
Tujuannya adalah :
memaksimumkan keuntungan
Sumber daya
pembatas adalah :
Jam kerja mesin
milling per minggu : 500 jam
Jam kerja mesin
llathe per minggu : 350 jam
Jam kerja mesin
grinder per minggu : 150 jam.
Model matematikanya
adalah :
Maksimumkan z = 50
x1 + 20 x2 + 25 x3
Kendala :
9x1 + 3
x2 + 5x3 ≤ 500
5x1 + 4
x2 ≤ 350
3x1 + 2x3
≤ 150
x3 ≤ 20
x1, x2, x3 g ≥ 0
------------****------------
Sumber
:
Siringoringo,
Hotniar. Seri Teknik Riset Operasional. Pemrograman Linear. Penerbit Graha
Ilmu. Yogyakarta. 2005.
